从悖论之花到数学之果的数学之旅
韩雪涛
“数学悖论”、“数学危机”都是富有蛊惑性的字眼，两者联在一起更使其蛊惑力倍增。因而，喜欢数学特别是对数学发展有兴趣的人往往都会为“数学悖论与三次数学危机”这一话题所吸引。
记得自己是在十多年前初涉数学科普与数学史不久后陷入其魔力圈的。当时还写了一篇介绍文字。事隔多年后，我重新翻出旧文，稍做修改发在电子杂志《三思科学》04年第1期上。鉴于“悖论”“危机”自身的魅力，另加上《三思科学》的影响力，这篇文章在网上广为流传。
但令人奇怪的是，虽然许许多多数学科普与数学史方面的书籍都会用几页的篇幅谈论这个话题，却几乎没有人就此话题展开详论。这种惊奇的感觉，是在05年下半年与湖南科学技术出版社的赵龙编辑交流中忽然产生的。赵编辑在网上看到了我的“数学悖论与三次数学危机”一文，很感兴趣，问我是否愿意就此内容展开写一本相关的书。
听到赵编辑的选题，我的第一反应是：我怎么自己没有想到做这件事呢？在我的记忆中，只有胡作玄先生曾写过一本《第三次数学危机》，但胡先生此书对前两次数学危机只是简略一提，而将侧重点集中于公理集合论与数理逻辑方面。在经过更多的网上搜索与查询后，我进一步确信，这个如此值得做的选题竟然被遗漏了。
感谢赵编辑。他不但想到这个选题，而且将完成这一选题的任务交给了我。而它恰好在几个方面都合乎我的口味：对数学悖论、数学危机的兴趣由来已久；喜欢数学史，这个选题正好与数学发展中的几个重要方面紧密相联；围绕一个话题展开详述是我所喜欢的……在经过一段苦但快乐的日子后，初稿完成了。其后，赵编辑提出许多有益的改进建议，特别是将全书分为三编而非三章的结构框架直接得之于他。
又经过几次校对，几多等待后，书终于问世了。在“丑媳妇见公婆”之时，有必要对自己此书的侧重点与特点简要介绍一下。
书中没有对“什么是悖论”给出一个普遍适用的答案，对悖论的介绍也只占全书内容的不多部分。事实上，为了使读者透彻明白引发三次数学危机的毕达哥拉斯等悖论的悖之因，全书采取了一种更为宽阔的陈述视野，将悖论放在特定的历史中进行了详细考察，并对悖论产生前的背景做出了详尽介绍。在此基础上，对它们所引发的数学危机、危机之解决、悖论解决过程中产生的各种数学成果、悖论解决后产生的深远影响等做出了透彻阐述。
因而，在这次数学之旅中，悖论起到的主要是引线作用。围绕着它们更多地介绍了悖论之花得以绽放的数学土壤和悖论之花结出的数学之果。通过这种阐述，“以史为鉴”，希望读者既能对数学中欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉获得更清晰的认识，又能理解枝繁叶茂的数学大树是如何一步一步成长起来的。
比如：通过这种介绍，读者可明了数学的发展既受实践的推动，也深受数学自身问题的影响。因为贯穿于全书的一个基本点就是：数学悖论作为一类特殊的问题，可以成为数学发现的王道乐土，为数学的发展提供重要而持久的助推力。
再比如：通过这种介绍，读者可以体察到数学发展的历史与逻辑并不是完全统一的，数学发展具有非逻辑性，数学的发展过程与我们学习的过程往往有着相当大的差别。书中所介绍的微积分发展历程是一个极为典型的例证：现在微积分教材的逻辑顺序是函数、极限、导数、微分和积分，逻辑次序井然有条。然而，事实上，函数概念是在微积分发展过程中逐渐得以完善的，极限并非是在微积分诞生时就成为分析基础的，而积分的发展也是先于微分的，等等。
另外，书中将数学思想融入其中，并介绍了数学的抽象性、逻辑严格性等。而隐于书中的一个观念是：我们需要以辩证的观点看待数学的思想与特征。如书中介绍的有些数学思想表面看上去是对立的。但通过介绍会明白，对立双方各有其长，也各有其短。过分执于一端，在有所得中也会有所失，两者结合才能更好地推动数学的发展。再比如，逻辑的严格性是数学最引人注目的特征。然而，我们会看到，“多些活力，少些严密”，在一定时期是必要的，严密的思想也可能会阻碍数学的创造。书中提到，维尔斯特拉斯“处处连续却处处不可微函数”的例子没有早出现反可看作微积分发展史上的一件幸事，因为“如果牛顿和莱布尼兹知道了连续函数不一定可导，那么微分学将无法产生。”
书中还穿插介绍了众多数学家的生平与逸事，融知识性与趣味性于一体，既增加读者的兴趣，又有助于增进读者了解“数学家是什么样的人”。通过书中介绍，读者会注意到著名数学家之所以成为著名数学家的几个必要条件：一定的数学天赋；对数学的浓厚兴趣；把数学真理作为真正的追求，在这种追求中获得心灵的满足；“站在巨人的肩膀上”，书中提到的几乎所有数学家都是在仔细研读其前数学大师的著作后获得成功的……
作为一篇评自已书的书评，絮叨得已经不少，就此打住。如果您有兴趣阅读此书，真诚期待您的指正。
（《数学悖论与三次数学危机》，韩雪涛著，湖南科学技术出版社，2006年5月第1版，定价20元）
下面的序文为张景中院士所写。
这本《数学悖论和三次数学危机》，值得一读。
它的特色是：史料脉络清晰，说理透彻明白，文字通俗生动。这样的科普作品会引起读者的兴趣，会启发读者进一步的思考，会给读者留下回味；特别使青少年读者受益。
将数学悖论和三次数学危机联系在一起来谈，确实是一个不错的想法。三次数学危机都是数学史上的精彩情节，引人入胜；而那些蕴含哲理的数学悖论更是发人深省。每个悖论的破译，都可从正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法的理解。
通过这些故事，你会看到数学的发展真是一波三折。数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果，数学的抽象更是千锤百炼而成。
在这本书里，你也许找不到“什么是数学悖论”这一问题的答案。但这并不影响你阅读这本书，并且从中得到乐趣和智慧。事实上，对于数学悖论，大家的理解至今并不一致。同一个问题，例如有理数的平方不可能等于2，在古希腊被认为是悖论，在今天看来不过是平常的事实。就是在同一个时代，不同学术素养的人对一个问题是不是悖论也会有不同的看法，甲以为是悖论，乙可能认为不过是推理中的一个普通而隐蔽的错误。
例如，作者在前言中一开始就提到的有名的“说谎者悖论”，几年前经过我国数学家文兰的严密的分析论证，其本质不过是布尔代数里的一个矛盾方程。矛盾方程在通常代数中很普通，在布尔代数里也是要多少就有多少，每一个矛盾方程都可以转化为相应的悖论。“物以希为贵”，要多少有多少，就不新鲜了。
一个悖论的数学本质被揭露了，它似乎就失去了被继续研究的价值。但是，在数学发展的历史上，它功不可没。当然，研究悖论的逻辑学家或数学哲学家，可能不同意文兰的看法；这说明，同时代的学者对同一个问题是不是悖论，也会有截然不同的看法。进一步可以说，同一个人，今天他认为某个问题是悖论，也许明天就有了不同的看法。
但是，不管一个数学问题叫不叫悖论，它总是一个问题。问题是数学的心脏，对问题的研究推动着数学的发展，对“悖论”的研究当然也会推动数学的发展。把某些悖论的出现叫做数学危机，不知道是谁第一个说的。我向作者请教过，作者暂时还没有找到出处。不过，多数数学家看来，数学没有危机，也不会有危机。但是数学家忙着自己的研究，一般不太关心数学危机的说法。研究数学哲学的人，对于有没有数学危机，也是各有不同的看法。但既然有了这个说法，又比较能吸引大众的目光，让大家对数学有更多的兴趣，也是好事。
我说这些，是希望读者看这本书的时候更多的思考。对书中引用的不少观点，你不妨多问几个为什么，和古人作一次假想的对话，提出自己独立的看法。如能这样，从这本书里得到的好处，可算是非常丰富了。
2007-3-14